test

[ID v103]

---

Cho đường tròn tâm $O$, bán kính $R$ và một đường thẳng $d$ không cắt đường tròn $(O)$. Dựng đường thẳng $OH$ vuông góc với đường thẳng $d$ tại điểm $H$. Trên đường thẳng $d$ lấy điểm $K$ ($K$ khác $H$), qua $K$ vẽ hai tiếp tuyến $KA,KB$ với đường tròn $(O)$ ($A$, $B$ là các tiếp điểm), sao cho $A$ và $H$ nằm về hai phía đối với đường thẳng $OK$.

a) Chứng minh tứ giác $KAOH$ nội tiếp được trong đường tròn.

b) Đường thẳng $AB$ cắt đường thẳng $OH$ tại điểm $I$. Chứng minh rằng $IA.IB=IH.IO$ và $I$ là điểm cố định khi điểm $K$ chạy trên đường thẳng $d$ cố định.

c) Khi $OK=2R,OH=R\sqrt{3}$. Tính diện tích tam giác $KAI$ theo $R$.

---

a) Dễ.

b) $\mathrm{\Delta }IAO\sim \mathrm{\Delta }IHB$ (g-g)

Suy ra ${\displaystyle \frac{IA}{IH}}={\displaystyle \frac{IO}{IB}}\iff IA.IB=IH.IO$

*) Chứng minh $I$ cố định.

$\mathrm{\Delta }OIB\sim \mathrm{\Delta }OBH$ (g-g)

Suy ra ${\displaystyle \frac{OI}{OB}}={\displaystyle \frac{OB}{OH}}\iff OI={\displaystyle \frac{O{B}^2}{OH}}={\displaystyle \frac{R^2}{OH}}$

Vì $R,OH$ cố định nên suy ra $I$ cố định.

c) Gọi $M$ là giao của $OK$ và $AB$.

Khi đó $S_{KAI}={\displaystyle \frac{1}{2}}KM.AI$

*) Theo câu b) thì $OI={\displaystyle \frac{R^2}{OH}}={\displaystyle \frac{R}{\sqrt{3}}}$

Lại có $O{B}^2=OM.OK$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông $OBK$)

hay $OM={\displaystyle \frac{O{B}^2}{OK}}={\displaystyle \frac{R}{2}}$

Suy ra $KM=KO-OM={\displaystyle \frac{3R}{2}}$

*) $A{M}^2=OM.KM\Rightarrow AM={\displaystyle \frac{R\sqrt{3}}{2}}$

$M{I}^2=O{I}^2-O{M}^2\Rightarrow MI={\displaystyle \frac{R\sqrt{3}}{6}}$

Suy ra $AI=AM+MI={\displaystyle \frac{2R\sqrt{3}}{3}}$

Vậy $S_{KAI}={\displaystyle \frac{R^2\sqrt{3}}{2}}$

---

Xem Video