[ID v103]
a) Dễ.
b) $\Delta IAO \sim \Delta IHB$ (g-g)
Suy ra $\dfrac{IA}{IH}=\dfrac{IO}{IB}\Leftrightarrow IA.IB=IH.IO$
*) Chứng minh $I$ cố định.
$\Delta OIB\sim \Delta OBH$ (g-g)
Suy ra $\dfrac{OI}{OB}=\dfrac{OB}{OH}\Leftrightarrow OI=\dfrac{OB^2}{OH}=\dfrac{R^2}{OH}$
Vì $R, OH$ cố định nên suy ra $I$ cố định.
c) Gọi $M$ là giao của $OK$ và $AB$.
Khi đó $S_{KAI}=\dfrac{1}{2}KM.AI$
*) Theo câu b) thì $OI=\dfrac{R^2}{OH}=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$
Lại có $OB^2=OM.OK$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông $OBK$)
hay $OM=\dfrac{OB^2}{OK}=\dfrac{R}{2}$
Suy ra $KM=KO-OM=\dfrac{3R}{2}$
*) $AM^2=OM.KM\Rightarrow AM=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$
$MI^2=OI^2-OM^2\Rightarrow MI=\dfrac{R\sqrt{3}}{6}$
Suy ra $AI=AM+MI=\dfrac{2R\sqrt{3}}{3}$
Vậy $S_{KAI}=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}$
Xem Video
Cho đường tròn tâm $O$, bán kính $R$ và một đường thẳng $d$ không cắt đường tròn $(O)$. Dựng đường thẳng $OH$ vuông góc với đường thẳng $d$ tại điểm $H$. Trên đường thẳng $d$ lấy điểm $K$ ($K$ khác $H$), qua $K$ vẽ hai tiếp tuyến $KA,KB$ với đường tròn $(O)$ ($A$, $B$ là các tiếp điểm), sao cho $A$ và $H$ nằm về hai phía đối với đường thẳng $OK$.
a) Chứng minh tứ giác $KAOH$ nội tiếp được trong đường tròn.
b) Đường thẳng $AB$ cắt đường thẳng $OH$ tại điểm $I$. Chứng minh rằng $IA.IB=IH.IO$ và $I$ là điểm cố định khi điểm $K$ chạy trên đường thẳng $d$ cố định.
c) Khi $OK=2R, OH=R\sqrt{3}$. Tính diện tích tam giác $KAI$ theo $R$.
a) Dễ.
b) $\Delta IAO \sim \Delta IHB$ (g-g)
Suy ra $\dfrac{IA}{IH}=\dfrac{IO}{IB}\Leftrightarrow IA.IB=IH.IO$
*) Chứng minh $I$ cố định.
$\Delta OIB\sim \Delta OBH$ (g-g)
Suy ra $\dfrac{OI}{OB}=\dfrac{OB}{OH}\Leftrightarrow OI=\dfrac{OB^2}{OH}=\dfrac{R^2}{OH}$
Vì $R, OH$ cố định nên suy ra $I$ cố định.
c) Gọi $M$ là giao của $OK$ và $AB$.
Khi đó $S_{KAI}=\dfrac{1}{2}KM.AI$
*) Theo câu b) thì $OI=\dfrac{R^2}{OH}=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$
Lại có $OB^2=OM.OK$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông $OBK$)
hay $OM=\dfrac{OB^2}{OK}=\dfrac{R}{2}$
Suy ra $KM=KO-OM=\dfrac{3R}{2}$
*) $AM^2=OM.KM\Rightarrow AM=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$
$MI^2=OI^2-OM^2\Rightarrow MI=\dfrac{R\sqrt{3}}{6}$
Suy ra $AI=AM+MI=\dfrac{2R\sqrt{3}}{3}$
Vậy $S_{KAI}=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}$
Xem Video