[ID v104]
Cho tam giác đều $ABC$ có đường cao $AH$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ tùy ý ($M$ không trùng với $B,C,H$). Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AB,AC$.
a) Chứng minh tứ giác $APMQ$ nội tiếp được trong đường tròn và xác định tâm $O$ của đường tròn này.
b) Chứng minh $OH\perp PQ$.
c) Chứng minh $MP+MQ=AH$.
a) Dễ
Cho tam giác đều $ABC$ có đường cao $AH$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ tùy ý ($M$ không trùng với $B,C,H$). Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AB,AC$.
a) Chứng minh tứ giác $APMQ$ nội tiếp được trong đường tròn và xác định tâm $O$ của đường tròn này.
b) Chứng minh $OH\perp PQ$.
c) Chứng minh $MP+MQ=AH$.
a) Dễ
b) $\angle PAH=\angle QAH$ (do $\Delta ABC$ đều)
Suy ra $H$ là điểm chính giữa của cung $PQ$
Suy ra $OH\perp PQ$.
c) $S_{\Delta ABC}=S_{\Delta MAB}+S_{\Delta MAC}$
Suy ra đpcm