test

[v10h4]

---

Cho đường tròn $(O;R)$, đường kính $AB$ vuông góc với dây cung $MN$ tại $H$ ($H$ nằm giữa $O$ và $B$). Trên tia $MN$ lấy điểm $C$ nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ sao cho đoạn thẳng $AC$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại điểm $K$ khác $A$, hai dây $MN$ và $BK$ cắt nhau ở $E$.

a) Chứng minh tư giác $AHEK$ nội tiếp.

b) Chứng minh $CA.CK=CH.CE$.

c) Qua $N$ kẽ đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt tia $MK$ tại $F$. Chứng minh $\mathrm{\Delta }NFK$ cân.

d) Giả sử $KE=KC$. Chứng minh $OK$ song song $MN$.

---

a) Dễ

b) $\mathrm{\Delta }CAE\sim \mathrm{\Delta }CHK$

c) $BK$ song song $NF$

Suy ra $\mathrm{\angle }FNK=\mathrm{\angle }NKB$

Lại có $\mathrm{\angle }NKB=\mathrm{\angle }BKM$ (do cung $NB$ bằng cung $BM$)

Hơn nữa $\mathrm{\angle }BKM=\mathrm{\angle }NFK$ (do $BK$ song song $NF$)

Suy ra $\mathrm{\angle }FNK=\mathrm{\angle }NFK$

Suy ra $\mathrm{\Delta }NFK$ cân tại $K$

d)

$\mathrm{\Delta }EKC$ vuông cân tại $K$ nên $\mathrm{\angle }KEC=\mathrm{\angle }HEB={45}^{\circ }$

Suy ra $\mathrm{\angle }OBK={45}^{\circ }$

Suy ra $\mathrm{\angle }BOK={90}^{\circ }$ ($\mathrm{\Delta }OBK$ cân tại $O$)

Suy ra $OK$ song song $MN$ (do cùng vuông góc với $AB$)