[v10h4]
Cho đường tròn $(O;R)$, đường kính $AB$ vuông góc với dây cung $MN$ tại $H$ ($H$ nằm giữa $O$ và $B$). Trên tia $MN$ lấy điểm $C$ nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ sao cho đoạn thẳng $AC$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại điểm $K$ khác $A$, hai dây $MN$ và $BK$ cắt nhau ở $E$.
a) Chứng minh tư giác $AHEK$ nội tiếp.
b) Chứng minh $CA.CK=CH.CE$.
c) Qua $N$ kẽ đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt tia $MK$ tại $F$. Chứng minh $\Delta NFK$ cân.
d) Giả sử $KE=KC$. Chứng minh $OK$ song song $MN$.
a) Dễ
b) $\Delta CAE\sim \Delta CHK$
c) $BK$ song song $NF$
Suy ra $\angle FNK=\angle NKB$
Lại có $\angle NKB=\angle BKM$ (do cung $NB$ bằng cung $BM$)
Hơn nữa $\angle BKM=\angle NFK$ (do $BK$ song song $NF$)
Suy ra $\angle FNK=\angle NFK$
Suy ra $\Delta NFK$ cân tại $K$
d)
$\Delta EKC$ vuông cân tại $K$ nên $\angle KEC=\angle HEB=45^{\circ}$
Suy ra $\angle OBK=45^{\circ}$
Suy ra $\angle BOK=90^{\circ}$ ($\Delta OBK$ cân tại $O$)
Suy ra $OK$ song song $MN$ (do cùng vuông góc với $AB$)