CĂN BẬC HAI
1. Căn bậc hai số học
Số dương a có đúng hai căn bậc hai là: $\sqrt a $ và $-\sqrt a $
Với số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.
Số $0$ cũng được gọi là căn bậc hai số học của $0$.
Lưu ý. +) $\sqrt a = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.$
+) So sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a< \sqrt b $
2. Căn thức bậc hai
Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt A $ là căn thức bậc hai của $A$. Khi đó, $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
$\sqrt A $ xác định hay có nghĩa khi $A$ lấy giá trị không âm
Lưu ý. Với $a \ge 0,$ ta có
+) Nếu $x = \sqrt a $ thì $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.$
+) Nếu $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.$ thì $x = \sqrt a .$
Ta viết $x = \sqrt a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.$
3. So sánh căn bậc hai số học
Với hai số $a;b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b $
Các em cùng đi qua ví dụ sau để hiểu rõ hơn
Ví dụ 1. So sánh 3 và $\sqrt 7$
Giải
Ta có: $3 = \sqrt 9 $ mà $9 > 7$ suy ra $\sqrt 9 > \sqrt 7 $ hay $3 > \sqrt 7 $
Qua bài viết nhỏ này, các em phải thuộc hằng đẳng thức sau
Hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$
Với mọi số $a$, ta có $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|$
Lưu ý. Một cách tổng quát, với $A$ là một biểu thức ta có
+) $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ nghĩa là $\sqrt {{A^2}} = A$ nếu $A \ge 0$ và $\sqrt {{A^2}} = - A$ nếu $A < 0$
4. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1. Tìm căn bậc hai số học và so sánh hai căn bậc hai
Các em buộc phải nhớ kiến thức sau: với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b $
Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai
Các em sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$
Dạng 3. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Bước 1. Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức (thông thường là ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$ hoặc ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$
+) Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$
Dạng 4. Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa
Các em nhớ kiến thức sau. Biểu thức $\sqrt A $ có nghĩa khi và chỉ khi $A \ge 0$
Dạng 5. Giải phương trình chứa căn bậc hai
Các em chú ý các các công thức sau và vận dụng trong từng bài tập cụ thể
$\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.$
$\sqrt {{A^2}} = B \Leftrightarrow \left| A \right| = B$
$\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\left( { B \ge 0} \right)\\A = B\end{array} \right.$