Dạng toán tìm $x$ nguyên để $P$ nguyên hay tìm $x$ để $P$ nguyên là một dạng bài toán cũng hay gặp trong kỳ thi tuyển sinh vào 10.
Phương pháp chung
Bước 1. Biến đổi biểu thức về dạng $\displaystyle P= f(x) + \frac{k}{g(x)}$ trong đó $f(x)$ là một biểu thức nguyên khi $x$ nguyên và $k$ có giá trị là số nguyên
Bước 2. Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh $m < A < M$ trong đó $m, M$ là các số nguyên
Bước 3. Trong khoảng từ $m$ đến $M$, tìm các giá trị nguyên
Bước 4. Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến $x$
Bước 4. Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận
Tìm $x$ nguyên để $P$ nguyên
Cho biểu thức $\displaystyle P=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} -3}-\frac{3}{\sqrt{a}+3}-\frac{a-2}{a-9}$ với $a\ge 0$ và $a\ne 9$
a) Rút gọn biểu thức $P$
b) Tìm giá trị các số nguyên $a$ để $P$ đạt giá trị nguyên
Giải
a) Với $a\ge 0$, $a\ne 9$ ta có
$\displaystyle P=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-3}-\frac{3}{\sqrt{a} +3}-\frac{a-2}{a-9}$
$\displaystyle P=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)}{a-9}-\frac{3(\sqrt{a}-3)}{a-9}-\frac{a-2}{a-9}$
$\displaystyle P=\frac{11}{a-9}$
b) Để $\displaystyle P=\frac{11}{a-9}\in \mathbb Z\Leftrightarrow$ $a-9$ là ước của $11$
$\displaystyle a-9\in \{-1;1;-11;11\}$
Ta có bảng sau
| $a-9$ | $-11$ | $-1$ | $1$ | $11$ |
| $a$ | $-2 \quad (loai)$ | $8$ | $10$ | $20$ |
Kết luận: Các giá trị $a$ nguyên để $P$ nguyên là $a\in \{8;10;20\}$
Tìm $x$ để $P$ nguyên
Ví dụ. Tìm giá trị của $x$ để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên
$$P=\frac{2\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+1}$$
Giải
Ta có $\displaystyle P=\frac{2\sqrt{x}+2+5}{\sqrt{x}+1}=\frac{2(\sqrt{x}+1)+5}{\sqrt{x}+1}=2+\frac5{\sqrt{x}+1}$
$\displaystyle \Rightarrow P\in \mathbb Z\Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{x} +1}\in \mathbb Z$
Ta có $\displaystyle \sqrt{x} \ge 0\Leftrightarrow \sqrt{x} +1\ge 1$
$\displaystyle 0 < \frac{5}{\sqrt{x} +1}\le 5$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{5}{\sqrt{x} +1}\in \{1;2;3;4;5\}$
Ta có bảng sau
| $\displaystyle \frac{5}{\sqrt{x} +1}$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $x$ | $16$ | $\displaystyle \frac{9}{4}$ | $\displaystyle \frac{4}{9}$ | $\displaystyle \frac{1}{16}$ | $0$ |
Kết luận: $\displaystyle x\in \left\{ 16;\frac{9}{4};\frac{4}{9};\frac{1}{16};0 \right\}$