Tìm $x$ để $P$ nguyên

Dạng toán tìm $x$ nguyên để $P$ nguyên hay tìm $x$ để $P$ nguyên là một dạng bài toán cũng hay gặp trong kỳ thi tuyển sinh vào 10.

Phương pháp chung

Bước 1. Biến đổi biểu thức về dạng $P = f (x) + \frac{k}{g (x)}$ trong đó $f (x)$ là một biểu thức nguyên khi $x$ nguyên và $k$ có giá trị là số nguyên

Bước 2. Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh $m < A < M$ trong đó $m, M$ là các số nguyên

Bước 3. Trong khoảng từ $m$ đến $M$ , tìm các giá trị nguyên

Bước 4. Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến $x$

Bước 4. Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận

Tìm $x$ nguyên để $P$ nguyên

Cho biểu thức $P = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 3} - \frac{3}{\sqrt{a} + 3} - \frac{a - 2}{a - 9}$ với $a \geq 0$ và $a \neq 9$

a) Rút gọn biểu thức $P$

b) Tìm giá trị các số nguyên $a$ để $P$ đạt giá trị nguyên

Giải

a) Với $a \geq 0$ , $a \neq 9$ ta có

$P = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 3} - \frac{3}{\sqrt{a} + 3} - \frac{a - 2}{a - 9}$

$P = \frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} + 3)}{a - 9} - \frac{3 (\sqrt{a} - 3)}{a - 9} - \frac{a - 2}{a - 9}$

$P = \frac{11}{a - 9}$

b) Để $P = \frac{11}{a - 9} \in Z \Leftrightarrow$ $a - 9$ là ước của $11$

$a - 9 \in {- 1; 1; - 11; 11}$

Ta có bảng sau

$a - 9$	$- 11$	$- 1$	$1$	$11$
$a$	$- 2 (l o a i)$	$8$	$10$	$20$

Kết luận: Các giá trị $a$ nguyên để $P$ nguyên là $a \in {8; 10; 20}$